గణిత ఫంక్షన్ యొక్క పైభాగాన్ని ఎలా కనుగొనాలి

విషయము

• దశల్లో
• విధానం 1 పాలిహెడ్రాన్ యొక్క శీర్షాల సంఖ్యను కనుగొనండి
• విధానం 2 సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క శీర్షాలను కనుగొనండి
• విధానం 3 ఒక సిమెట్రీ లాక్స్ తో నీతికథ యొక్క పైభాగాన్ని కనుగొనండి
• విధానం 4 చదరపు పూర్తి చేయడం ద్వారా నీతికథ యొక్క పైభాగాన్ని కనుగొనండి
• విధానం 5 సరళమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి నీతికథ యొక్క పైభాగాన్ని కనుగొనండి

ఈ వ్యాసంలో: పాలిహెడ్రాన్ యొక్క శీర్షాల సంఖ్యను కనుగొనండి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క శీర్షాలను కనుగొనండి సమరూప అక్షం తెలుసుకొని ఒక పారాబొలా యొక్క శీర్షాన్ని కనుగొనండి చదరపు పూర్తి చేయడం ద్వారా పారాబొలా యొక్క శీర్షాన్ని కనుగొనండి ఒక సాధారణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పారాబొలా యొక్క శీర్షాన్ని కనుగొనండి.

అనేక గణిత విధులు శీర్షాలను తెస్తాయి. పాలిహెడ్రాలో శీర్షాలు ఉన్నాయి, వ్యవస్థలు సరళ సమీకరణాలు, అలాగే నీతికథలు (ఇవి రెండవ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాల యొక్క గ్రాఫికల్ ప్రాతినిధ్యాలు). మీకు అందుబాటులో ఉన్న గణిత ఫంక్షన్ ప్రకారం ఈ ప్రత్యేక పాయింట్ల లెక్కలు భిన్నంగా ఉంటాయి. మేము ఇక్కడ 5 దృశ్యాలను చూస్తాము

దశల్లో

విధానం 1 పాలిహెడ్రాన్ యొక్క శీర్షాల సంఖ్యను కనుగొనండి

1. 
   

   
   పాలిహెడ్రా కోసం యూలర్ యొక్క సూత్రాన్ని చూడండి. ఈ సూత్రం ఏదైనా పాలిహెడ్రాన్ కోసం దాన్ని నిర్ధారిస్తుంది కుంభాకార, ముఖాల సంఖ్య, శీర్షాల సంఖ్య, అంచుల సంఖ్య మైనస్ ఎల్లప్పుడూ 2 కి సమానం.
   • సమీకరణ రూపంలో వ్రాయబడినది, సూత్రం క్రింది విధంగా ఉంటుంది: f + s - a = 2
     • f ముఖాల సంఖ్య
     • లు శీర్షాలు లేదా మూలల సంఖ్య
     • ఉంది చీలికల సంఖ్య

2. 
   

   
   శీర్షాల సంఖ్యను ("లు") వేరుచేయడానికి సమీకరణాన్ని మార్చండి. ముఖాల సంఖ్య ("f") మరియు అంచులు ("a") మీకు ఇచ్చినట్లయితే, మీరు యూలర్ యొక్క సూత్రానికి కృతజ్ఞతలు తెలుపుతూ, శీర్షాల సంఖ్యను సులభంగా లెక్కిస్తారు. మీరు వారి సంకేతాలను మార్చడం ద్వారా సమీకరణం యొక్క మరొక వైపున "f" మరియు "a" ను పాస్ చేస్తారు, మరియు voila!
   • s = 2 - f + a

3. 
   

   
   
   
   డిజిటల్ అప్లికేషన్ చేయండి మరియు సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. మీకు "f" మరియు "a" ఇస్తే, మీరు చేయాల్సిందల్లా వాటిని సమీకరణంలో ఉంచి లెక్కలు చేయండి. మీరు శీర్షాల సంఖ్యను పొందుతారు.
   • ఉదాహరణ: మీకు 6 ముఖాలు మరియు 12 అంచులతో పాలిహెడ్రాన్ ఉంది ...
     • s = 2 - f + a
     • s = 2 - 6 + 12
     • s = -4 + 12
     • s = 8

విధానం 2 సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క శీర్షాలను కనుగొనండి

1. 
   

   
   విభిన్న సరళ అసమానతల గ్రాఫ్లను గీయండి. అందువల్ల, మీరు కొన్ని లేదా అన్ని శీర్షాలను చూడగలుగుతారు (ఇక్కడ, అవి ఖండన బిందువులు), అన్నీ మీ గ్రాఫ్ యొక్క సమీకరణాలు మరియు పరిమాణంపై ఆధారపడి ఉంటాయి. మీరు వాటిలో దేనినీ చూడకపోతే, అవి మీ గ్రాఫ్ వెలుపల ఉన్నాయి, కాబట్టి మీరు వాటిని లెక్కించాలి.
   • గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్ సహాయంతో, మీరు వివిధ వక్రతల శీర్షాలను (ఏదైనా ఉంటే) దృశ్యమానం చేయగలరు మరియు వాటి అక్షాంశాలను చదవగలరు.

2. 
   

   
   
   
   అసమానతలను సమీకరణాలుగా మార్చండి. సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి, మీరు లెక్కించడానికి, అసమానతలను తాత్కాలికంగా సమీకరణాలుగా మార్చాలి x మరియు అక్కడ.
   • ఉదాహరణ: తదుపరి సమీకరణాల వ్యవస్థ ...
     • y <x
     • y> -x + 4
   • అసమానతలు సమీకరణాలుగా రూపాంతరం చెందుతాయి:
     • y = x
     • y = -x + 4

3. 
   

   
   తెలియని వాటిలో ఒకదానిని మరొక సమీకరణంలో భర్తీ చేయండి. కొనసాగడానికి వివిధ మార్గాలు ఉన్నప్పటికీ, "ప్రత్యామ్నాయం" అని పిలవబడే పద్ధతిని చూస్తాము x మరియు అక్కడ, ఖచ్చితంగా సరళమైనది. రెండవ సమీకరణంలో, మేము తీసుకుంటాము అక్కడ మొదటి విలువ. మేము ప్రత్యామ్నాయం అక్కడ. ఇది రెండు సమీకరణాలను సమానంగా చేస్తుంది.
   • ఉదాహరణకు:
     • y = x
     • y = -x + 4
   • ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా, y = -x + 4 అవుతుంది:
     • x = -x + 4

4. 
   

   
   తెలియని విలువను కనుగొనండి. ఇప్పుడు మీకు తెలియనిది ఒక్కటే (x), చేర్పులు, వ్యవకలనాలు, గుణకాలు మరియు విభాగాల ఆట ద్వారా ఇక్కడ కనుగొనడం సులభం. ఇది మొదటి డిగ్రీ యొక్క సాధారణ సమీకరణం.
   • ఉదాహరణ: x = -x + 4
     • x + x = -x + x + 4
     • 2x = 4
     • 2x / 2 = 4/2
     • x = 2

5. 
   

   
   తెలియని రెండవదాన్ని కనుగొనండి. మీరు ఇప్పుడే కనుగొన్న విలువను తీసుకోండి మరియు నిర్ణయించడానికి రెండు సమీకరణాలలో ఒకటి ఉంచండి అక్కడ.
   • ఉదాహరణ: y = x
     • y = 2

6. 
   

   
   శిఖరాన్ని నిర్ణయించండి. అప్పుడు శీర్షం మీ రెండు విలువలను సమన్వయం చేస్తుంది, x మరియు అక్కడ.
   • ఉదాహరణ: (2, 2)

విధానం 3 ఒక సిమెట్రీ లాక్స్ తో నీతికథ యొక్క పైభాగాన్ని కనుగొనండి

1. 
   

   
   సమీకరణాన్ని కారకాలుగా ఉంచండి. రెండవ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాన్ని కారకమైన రూపంలో వ్రాయండి. మనకు ప్రారంభంలో ఉన్న సమీకరణం ప్రకారం కారకం చేయడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి. ఏదేమైనా, చివరికి, మీరు ఉత్పత్తుల రూపంలో ఒక సమీకరణాన్ని కలిగి ఉండాలి.
   • ఉదాహరణ: (కుళ్ళిపోవడం ఉపయోగించి)
     • f (x) = 3x - 6x - 45
     • 3 కారకాన్ని ఉంచండి, ఇది ఇస్తుంది: 3 (x - 2x - 15)
     • X ("a") మరియు x (స్థిరమైన "c") యొక్క గుణకాలను గుణించండి, అనగా 1 x -15 = -15
     • ఉత్పత్తి -15 మరియు మొత్తం గుణకానికి సమానమైన రెండు సంఖ్యలను కనుగొనండి (బి) యొక్క x (ఇక్కడ, బి = - 2). 3 x -5 = -15 మరియు 3 + (- 5) = 3 - 5 = - 2 నుండి 3 మరియు - 5 ఒప్పందాన్ని చేస్తాయి
     • సమీకరణంలో, గొడ్డలి + kx + hx + c, గతంలో కనుగొన్న విలువల ద్వారా "k" మరియు "h" ని భర్తీ చేయండి, ఇది ఇస్తుంది: 3 (x + 3x - 5x - 15)
     • Refactor. మేము అప్పుడు పొందుతాము: f (x) = 3 (x + 3) (x - 5)

2. 
   

   
   X- అక్షం (x- అక్షం) తో పారాబొలా యొక్క ఖండన బిందువును కనుగొనండి. ఈ బిందువును కనుగొనడం అంటే సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం: f (x) = 0.
   • ఉదాహరణ: 3 (x + 3) (x - 5) = 0
     • +3 = 0
     • - 5 = 0
     • = -3 మరియు х = 5
     • సమీకరణం యొక్క మూలాలు: (-3, 0) మరియు (5, 0)

3. 
   

   
   ఈ పాయింట్ల మధ్యలో కనుగొనండి. నీతికథ యొక్క సమరూపత రెండు మూలాల మధ్యలో ఉన్న ఈ బిందువు గుండా వెళుతుంది. ఈ అక్షం ప్రాథమికమైనది, ఎందుకంటే శీర్షం దాని పైన నిర్వచనం ప్రకారం ఉంటుంది.
   • ఉదాహరణ: -3 మరియు 5 మధ్యలో: x = 1

4. 
   

   
   ప్రారంభ సమీకరణంలో, భర్తీ చేయండి x 1 యొక్క ఈ విలువ ద్వారా. మీరు ఒక విలువను కనుగొంటారు అక్కడ మీ శిఖరాగ్రానికి ఎవరు ప్రభువు అవుతారు.
   • ఉదాహరణ: y = 3x - 6x - 45 = 3 (1) 2 - 6 (1) - 45 = -48

5. 
   

   
   మీ శిఖరం యొక్క అక్షాంశాలను నమోదు చేయండి. రెండు విలువలను కలిపి, x మరియు అక్కడ, శిఖరం యొక్క స్థానం కలిగి.
   • ఉదాహరణ: (1, -48)

విధానం 4 చదరపు పూర్తి చేయడం ద్వారా నీతికథ యొక్క పైభాగాన్ని కనుగొనండి

1. 
   

   
   ప్రారంభ సమీకరణాన్ని శీర్షంగా మార్చండి. "శీర్షం" రూపంలో ఒక సమీకరణం శైలిలో ఉంటుంది: y = a (x - h) + k, దీనిలో పారాబొలా యొక్క పైభాగం కోఆర్డినేట్‌ల కోసం ఉంటుంది (h, k). అందువల్ల ఈ రకమైన రూపాన్ని కలిగి ఉన్న ప్రారంభ సమీకరణాన్ని మార్చడం ఖచ్చితంగా అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, మేము దీనిని పిలుస్తున్నట్లుగా, చదరపుని పూర్తి చేయాలి.
   • ఉదాహరణ: y = -x - 8x - 15 (రూపం గొడ్డలి + bx + c)

2. 
   

   
   వేరుచేయడం ద్వారా ప్రారంభించండి ఉంది. కారకంలో ఉంచండి, కేవలం రెండు మొదటి పదాలతో, రెండవ డిగ్రీలో పదం యొక్క గుణకం (భవిష్యత్తు) ఉంది). స్థిరాంకాన్ని తాకవద్దు సి ప్రస్తుతానికి!
   • ఉదాహరణ: -1 (x + 8x) - 15

3. 
   

   
   కుండలీకరణాల కోసం మూడవ పదాన్ని కనుగొనండి. ఈ పదం యాదృచ్ఛికంగా ఎన్నుకోబడలేదు: ఇది బ్రాకెట్లలోని వాటిని రూపం (గొడ్డలి + బి) యొక్క ఖచ్చితమైన చదరపు (లేదా గొప్ప గుర్తింపు) గా చేస్తుంది. జోడించాల్సిన ఈ క్రొత్త పదం మధ్య పదం యొక్క సగం గుణకం యొక్క చదరపు (బి).
   • ఉదాహరణకు: బి = 8, దాని సగం: 8/2 = 4. మేము చతురస్రాన్ని తీసుకుంటాము: 4 x 4 = 16. మేము ఇలా పొందుతాము:
     • -1 (x + 8x + 16)
     • సమీకరణం సమతుల్యత లేకుండా ఉండటానికి, బ్రాకెట్లలో చేర్చబడిన వాటిని (లేదా తీసివేయడం) బయటికి తీసివేయాలి (లేదా జోడించాలి).
     • y = -1 (x + 8x + 16) - 15 + 16

4. 
   

   
   సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేయడానికి గణనలను జరుపుము. కుండలీకరణాల లోపల పరిపూర్ణ చతురస్రంగా వ్రాసి స్థిరాంకాలు సంకలనం చేయండి.
   • ఉదాహరణ: y = -1 (x + 4) + 1

5. 
   

   
   శీర్షం నుండి శీర్ష అక్షాంశాలను కనుగొనండి. గుర్తుంచుకో! మాకు శీర్ష రూపంలో ఒక సమీకరణం అవసరం: y = a (x - h) + k అక్షాంశాలను నేరుగా కనుగొనడానికి (h, k) ఎగువ నుండి. ఈ రెండు విలువలను (సంకేతాలకు శ్రద్ధ!) కనుగొనడానికి చదవడానికి మరియు కొన్నిసార్లు చిన్న గణన చేయడానికి సరిపోతుంది.
   • k = 1
   • h = -4 (-h = 4, కాబట్టి h = - 4)
   • తీర్మానించడానికి, నీతికథ యొక్క పైభాగం కోఆర్డినేట్ల పాయింట్ వద్ద ఉంది (-4, 1)

విధానం 5 సరళమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి నీతికథ యొక్క పైభాగాన్ని కనుగొనండి

1. 
   

   
   నేరుగా లాబ్సిస్ కనుగొనండి x ఎగువ నుండి. నీతికథ సమీకరణంతో y = గొడ్డలి + bx + సి, లాబ్సిస్ x నీతికథ పైనుండి ఈ క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి చూడవచ్చు: x = -b / 2a. అప్పుడు "a" మరియు "b" లను వాటి విలువలతో భర్తీ చేయండి.
   • ఉదాహరణ: y = -x - 8x - 15
   • x = -b / 2a = - (- 8) / (2 x (-1)) = 8 / (- 2) = -4
   • x = -4

2. 
   

   
   అప్పుడు "x" యొక్క ఈ విలువను తిరిగి అసలు సమీకరణంలోకి ఉంచండి, శీర్షం యొక్క క్రమాన్ని ("y") కనుగొనండి.
   • ఉదాహరణ: y = -x - 8x - 15 = - (- 4) - 8 (-4) - 15 = - (16) - (-32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
     • y = 1

3. 
   

   
   అప్పుడు మీ ఫలితాన్ని నమోదు చేయండి, ఇది శిఖరం యొక్క అక్షాంశాలు. ఇది కోఆర్డినేట్ పాయింట్ ("x", "y").
   • ఉదాహరణ: (-4, 1)