సమీకరణాల వ్యవస్థను ఎలా పరిష్కరించాలి

విషయము

• దశల్లో
• విధానం 1 వ్యవకలనం తీర్మానం
• విధానం 2 చేరిక తీర్మానం
• విధానం 3 గుణకారం తీర్మానం
• విధానం 4 ప్రత్యామ్నాయ తీర్మానం

సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం అంటే అనేక సమీకరణాలను ఉపయోగించి అనేక తెలియనివారి విలువను కనుగొనడం. మీరు అదనంగా, వ్యవకలనం, గుణకారం లేదా ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించవచ్చు. సిస్టమ్ సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో మీరు తెలుసుకోవాలంటే, ఈ దశలను అనుసరించండి.

దశల్లో

విధానం 1 వ్యవకలనం తీర్మానం

1. 
   

   
   ఒకదానికొకటి సమీకరణాలను వ్రాయండి. రెండు సమీకరణాలు ఒకే గుణకం మరియు ఒకే గుర్తుతో తెలియనిప్పుడు మీరు వ్యవకలనం పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు. ఉదాహరణకు, రెండు సమీకరణాలు 2x కలిగి ఉంటే, మీరు x మరియు y విలువను కనుగొనడానికి వ్యవకలనం పద్ధతిని ఉపయోగించాలి.
   • X, y, మరియు స్థిరాంకాలను సమలేఖనం చేయడం ద్వారా సమీకరణాలను ఒకదానిపై ఒకటి వ్రాయండి. వ్యవకలన చిహ్నాన్ని రెండవ సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉంచండి.
   • ఉదాహరణ: మీ రెండు సమీకరణాలు 2x + 4y = 8 మరియు 2x + 2y = 2 అయితే, మీరు రెండు సమీకరణాలను నిలువుగా సమలేఖనం చేయాలి, రెండవ సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున వ్యవకలనం గుర్తుతో, అంటే మీరు రెండు సమీకరణాల పదాన్ని తీసివేస్తారు టర్మ్:
     • 2x + 4y = 8
     • - (2x + 2y = 2)

2. 
   

   
   పదాన్ని పదానికి తీసివేయండి. ఇప్పుడు మీరు రెండు సమీకరణాలను చక్కగా సమలేఖనం చేసారు, మీరు చేయాల్సిందల్లా ఇలాంటి పదాలను తీసివేయడం. మీరు పదం తరువాత పదం క్రింది విధంగా ఆపరేట్ చేయవచ్చు:
   • 2x - 2x = 0
   • 4y - 2y = 2y
   • 8 - 2 = 6
     • 2x + 4y = 8 - (2x + 2y = 2) = 0 + 2y = 6

3. 
   

   
   
   
   తెలియని మరొకదాన్ని కనుగొనండి. మీరు తెలియని రెండు వాటిలో ఒకదాన్ని తొలగించిన తర్వాత, మీరు మరొకటి తెలియనివి (ఇక్కడ, y) కనుగొనవలసి ఉంటుంది. సమీకరణం నుండి 0 ను తొలగించండి ఎందుకంటే అది పనికిరానిది.
   • 2y = 6
   • y = 6/2, అనగా y = 3

4. 
   

   
   మొదటి తెలియని విలువను కనుగొనడానికి సమీకరణాలలో ఒకదానిలో సంఖ్యా అనువర్తనాన్ని చేయండి. Y = 3 అని ఇప్పుడు మీకు తెలుసు, మీరు x ను కనుగొనడానికి సమీకరణాలలో ఒకదానిలో సంఖ్యా అనువర్తనాన్ని తయారు చేయాలి. మీరు ఏ సమీకరణాన్ని ఎంచుకున్నా, ఫలితం ఒకే విధంగా ఉంటుంది. సమీకరణాలలో ఒకటి మరొకదాని కంటే క్లిష్టంగా అనిపిస్తే, సరళమైనదాన్ని ఎంచుకోండి.
   • X ను కనుగొనడానికి 2x + 2y = 2 సమీకరణం యొక్క y = 3 తో ​​సంఖ్యా అనువర్తనాన్ని చేయండి.
   • 2x + 2 (3) = 2
   • 2x + 6 = 2
   • 2x = -4
   • x = - 2
     • మీరు వ్యవకలనం ద్వారా సిస్టమ్ సమీకరణాలను పరిష్కరించారు. కాబట్టి సమాధానం జత: (x, y) = (-2,3)

5. 
   

   
   
   
   మీ సమాధానం తనిఖీ చేయండి. మీరు మీ సమీకరణాల వ్యవస్థను సరిగ్గా పరిష్కరించారని నిర్ధారించుకోవడానికి, డిజిటల్ అనువర్తనం రెండు సమీకరణాలలోని రెండు పరిష్కారాలతో పనిచేస్తుందని నిర్ధారించుకోండి. ఎలా కొనసాగించాలో ఇక్కడ ఉంది:
   • 2x + 4y = 8 సమీకరణం యొక్క (x, y) = (-2,3) తో సంఖ్యా పటాన్ని తయారు చేయండి.
     • 2(-2) + 4(3) = 8
     • -4 + 12 = 8
     • 8 = 8
   • 2x + 2y = 2 సమీకరణం యొక్క (x, y) = (-2,3) తో సంఖ్యా పటాన్ని తయారు చేయండి.
     • 2(-2) + 2(3) = 2
     • -4 + 6 = 2
     • 2 = 2

విధానం 2 చేరిక తీర్మానం

1. 
   

   
   ఒకదానికొకటి సమీకరణాలను వ్రాయండి. రెండు సమీకరణాలు ఒకే గుణకంతో తెలియని, కానీ వ్యతిరేక సంకేతాలతో ఉన్నప్పుడు మీరు అదనంగా పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు. ఉదాహరణకు, రెండు సమీకరణాలలో ఒకటి 3x, మరియు మరొకటి -3x కలిగి ఉంటే.
   • X, y, మరియు స్థిరాంకాలను సమలేఖనం చేయడం ద్వారా సమీకరణాలను ఒకదానిపై ఒకటి వ్రాయండి. సంకలన చిహ్నాన్ని రెండవ సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉంచండి.
   • ఉదాహరణ: మీ రెండు సమీకరణాలు 3x + 6y = 8 మరియు x - 6y = 4 అయితే, మీరు రెండు సమీకరణాలను నిలువుగా సమలేఖనం చేయాలి, రెండవ సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున అదనంగా గుర్తుతో, అంటే మీరు రెండు సమీకరణాల పదాన్ని జోడిస్తారు ఫార్వర్డ్:
     • 3x + 6y = 8
     • + (x - 6y = 4)

2. 
   

   
   పదానికి పదాన్ని జోడించండి. ఇప్పుడు మీరు రెండు సమీకరణాలను చక్కగా సమలేఖనం చేసారు, మీరు చేయాల్సిందల్లా ఇలాంటి పదాలను జోడించడం.మీరు పదం తరువాత పదం క్రింది విధంగా ఆపరేట్ చేయవచ్చు:
   • 3x + x = 4x
   • 6y + -6y = 0
   • 8 + 4 = 12
   • అప్పుడు మీరు పొందుతారు:
     • 3x + 6y = 8
     • + (x - 6y = 4)
     • = 4x ​​+ 0 = 12

3. 
   

   
   తెలియని మరొకదాన్ని కనుగొనండి. మీరు తెలియని రెండు వాటిలో ఒకదాన్ని తొలగించిన తర్వాత, మీరు మరొకటి తెలియనివి (ఇక్కడ, y) కనుగొనవలసి ఉంటుంది. సమీకరణం నుండి 0 ను తొలగించండి ఎందుకంటే అది పనికిరానిది.
   • 4x + 0 = 12
   • 4x = 12
   • x = 12/4, అనగా x = 3

4. 
   

   
   మొదటి తెలియని విలువను కనుగొనడానికి సమీకరణాలలో ఒకదానిలో సంఖ్యా అనువర్తనాన్ని చేయండి. X = 3 అని ఇప్పుడు మీకు తెలుసు, మీరు x ను కనుగొనడానికి సమీకరణాలలో ఒకదానిలో సంఖ్యా అనువర్తనాన్ని తయారు చేయాలి. మీరు ఏ సమీకరణాన్ని ఎంచుకున్నా, ఫలితం ఒకే విధంగా ఉంటుంది. సమీకరణాలలో ఒకటి మరొకదాని కంటే క్లిష్టంగా అనిపిస్తే, సరళమైనదాన్ని ఎంచుకోండి.
   • Y ను కనుగొనడానికి x - 6y = 4 సమీకరణం యొక్క x = 3 తో ​​సంఖ్యా అనువర్తనాన్ని చేయండి.
   • 3 - 6y = 4
   • -6y = 1
   • y = 1 / -6, అనగా y = -1/6
     • మీరు సిస్టమ్ సమీకరణాలను అదనంగా పరిష్కరించారు. కాబట్టి సమాధానం జత: (x, y) = (3, -1/6)

5. 
   

   
   మీ సమాధానం తనిఖీ చేయండి. మీరు మీ సమీకరణాల వ్యవస్థను సరిగ్గా పరిష్కరించారని నిర్ధారించుకోవడానికి, డిజిటల్ అనువర్తనం రెండు సమీకరణాలలోని రెండు పరిష్కారాలతో పనిచేస్తుందని నిర్ధారించుకోండి. ఎలా కొనసాగించాలో ఇక్కడ ఉంది:
   • 3x + 6y = 8 సమీకరణం యొక్క (x, y) = (3,1 / 6) తో సంఖ్యా అనువర్తనాన్ని చేయండి.
     • 3(3) + 6(-1/6) = 8
     • 9 - 1 = 8
     • 8 = 8
   • X - 6y = 4 సమీకరణం యొక్క (x, y) = (3,1 / 6) తో సంఖ్యా పటాన్ని తయారు చేయండి.
     • 3 - (6*-1/6) =4
     • 3 - - 1 = 4
     • 3 + 1 = 4
     • 4 = 4

విధానం 3 గుణకారం తీర్మానం

1. 
   

   
   ఒకదానికొకటి సమీకరణాలను వ్రాయండి. X, y, మరియు స్థిరాంకాలను సమలేఖనం చేయడం ద్వారా సమీకరణాలను ఒకదానిపై ఒకటి వ్రాయండి. తెలియనివారికి వేర్వేరు గుణకాలు ఉన్నప్పుడు మేము గుణకారం పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము ... ప్రస్తుతానికి!
   • 3x + 2y = 10
   • 2x - y = 2

2. 
   

   
   తెలియని వాటిలో ఒకటి రెండు సమీకరణాలలో ఒకే గుణకం వచ్చేవరకు ఒకటి లేదా రెండు సమీకరణాలను గుణించండి. ఇప్పుడు, ఒకటి లేదా మరొకటి సమీకరణాలను లేదా రెండింటిని ఒక సంఖ్యతో గుణించండి, తద్వారా తెలియనివారిలో ఒకరు రెండు సమీకరణాలలో ఒకే గుణకం కలిగి ఉంటారు. మన విషయంలో, మేము రెండవ సమీకరణాన్ని 2 ద్వారా గుణించవచ్చు, తద్వారా -y -2y అవుతుంది, మొదటి సమీకరణంలో అదే గుణకంతో మనకు తెలియదు. ఇది ఇస్తుంది:
   • 2 (2x - y = 2)
   • 4x - 2y = 4

3. 
   

   
   రెండు సమీకరణాలను జోడించండి లేదా తీసివేయండి. ఇప్పుడు, తెలియని రెండు వాటిలో ఒకదాన్ని తొలగించడానికి, అదనంగా లేదా వ్యవకలనం యొక్క పద్ధతిని ఉపయోగించడం సరిపోతుంది. మా విషయంలో మనకు 2y మరియు -2y ఉన్నందున, మేము 2y + -2y 0 కి సమానం కాబట్టి, అదనంగా పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము. మీకు 2y మరియు 2y ఉంటే, మేము వ్యవకలనం పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము. Y ని తొలగించడానికి ఎడిటింగ్ పద్ధతిని ఇక్కడ వర్తించండి:
   • 3x + 2y = 10
   • + 4x - 2y = 4
   • 7x + 0 = 14
   • 7x = 14

4. 
   

   
   తెలియని మరొకదాన్ని కనుగొనండి. ఈ సాధారణ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 7x = 14 అయితే, x = 2.

5. 
   

   
   తెలియని ఇతర విలువను కనుగొనడానికి x = 2 తో డిజిటల్ అప్లికేషన్ చేయండి. అక్కడ కనుగొనడానికి సమీకరణాలలో ఒకదానిలో సంఖ్యా అనువర్తనాన్ని చేయండి. మీరు ఏ సమీకరణాన్ని ఎంచుకున్నా, ఫలితం ఒకే విధంగా ఉంటుంది. సమీకరణాలలో ఒకటి మరొకదాని కంటే క్లిష్టంగా అనిపిస్తే, సరళమైనదాన్ని ఎంచుకోండి.
   • x = 2 ---> 2x - y = 2
   • 4 - y = 2
   • -y = -2
   • y = 2
     • మీరు గుణకారం ద్వారా సిస్టమ్ సమీకరణాలను పరిష్కరించారు. కాబట్టి సమాధానం జత: (x, y) = (2,2)

6. 
   

   
   మీ సమాధానం తనిఖీ చేయండి. మీరు మీ సమీకరణాల వ్యవస్థను సరిగ్గా పరిష్కరించారని నిర్ధారించుకోవడానికి, డిజిటల్ అనువర్తనం రెండు సమీకరణాలలోని రెండు పరిష్కారాలతో పనిచేస్తుందని నిర్ధారించుకోండి. ఎలా కొనసాగించాలో ఇక్కడ ఉంది:
   • 3x + 2y = 10 సమీకరణం (x, y) = (2,2) తో సంఖ్యా పటాన్ని తయారు చేయండి.
   • 3(2) + 2(2) = 10
   • 6 + 4 = 10
   • 10 = 10
   • 2x - y = 2 సమీకరణం యొక్క (x, y) = (2,2) తో సంఖ్యా పటాన్ని తయారు చేయండి.
   • 2(2) - 2 = 2
   • 4 - 2 = 2
   • 2 = 2

విధానం 4 ప్రత్యామ్నాయ తీర్మానం

1. 
   

   
   తెలియని వాటిలో ఒకదాన్ని వేరుచేయండి. తెలియనివారిలో ఒకరికి రెండు సమీకరణాలలో 1 గుణకం ఉన్నప్పుడు ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి బాగా పనిచేస్తుంది.తరువాత, మీరు చేయాల్సిందల్లా ఈ తెలియని వాటిని విడదీయడం.
   • మీ రెండు సమీకరణాలు: 2x + 3y = 9 మరియు x + 4y = 2, రెండవ సమీకరణంలో x ను వేరుచేయండి.
   • x + 4y = 2
   • x = 2 - 4y

2. 
   

   
   మీరు తెలియని ఈ తెలియని రెండవ సమీకరణంలో డిజిటల్ అప్లికేషన్ చేయండి. రెండవ సమీకరణం యొక్క x విలువను మీరు వేరుచేసిన x విలువతో భర్తీ చేయండి. మొదటి సమీకరణంతో అప్లికేషన్ చేయకుండా జాగ్రత్త వహించండి, ఇది ఎటువంటి ప్రయోజనం లేకుండా చేస్తుంది! ఇది ఇస్తుంది:
   • x = 2 - 4y -> 2x + 3y = 9
   • 2 (2 - 4y) + 3y = 9
   • 4 - 8y + 3y = 9
   • 4 - 5y = 9
   • -5y = 9 - 4
   • -5y = 5
   • -y = 1
   • y = - 1

3. 
   

   
   తెలియని మరొకదాన్ని కనుగొనండి. Y = - 1 వలె, x ను కనుగొనడానికి ప్రారంభ సమీకరణాలలో ఒకదానిలో సంఖ్యా అనువర్తనాన్ని చేయండి. ఇది ఇస్తుంది:
   • y = -1 -> x = 2 - 4y
   • x = 2 - 4 (-1)
   • x = 2 - -4
   • x = 2 + 4
   • x = 6
     • మీరు ప్రత్యామ్నాయ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించారు. కాబట్టి సమాధానం జత: (x, y) = (6, -1)

4. 
   

   
   మీ సమాధానం తనిఖీ చేయండి. మీరు మీ సమీకరణాల వ్యవస్థను సరిగ్గా పరిష్కరించారని నిర్ధారించుకోవడానికి, డిజిటల్ అనువర్తనం రెండు సమీకరణాలలోని రెండు పరిష్కారాలతో పనిచేస్తుందని నిర్ధారించుకోండి. ఎలా కొనసాగించాలో ఇక్కడ ఉంది:
   • 2x + 3y = 9 సమీకరణం యొక్క (x, y) = (6, -1) తో సంఖ్యా పటాన్ని తయారు చేయండి.
     • 2(6) + 3(-1) = 9
     • 12 - 3 = 9
     • 9 = 9
   • X + 4y = 2 సమీకరణం (x, y) = (6, -1) తో సంఖ్యా పటాన్ని తయారు చేయండి.
   • 6 + 4(-1) = 2
   • 6 - 4 = 2
   • 2 = 2